Interrogació de sòlids en BRep
Càlcul de l'àrea de totes les cares
Càlcul de propietats volumètriques
Càlcul de
distàncies i angles
És inmediat. Per calcular distàncies entre vèrtexs i angles entre arestes, només cal aplicar les fòrmules habituals a la informació geomètrica dels vèrtexs emmagatzemada al model BRep. El mateix per calcular distàncies entre arestes o atlres càlculs de distàncies i interseccions.
Càlcul de
l'àrea de totes les cares
Per a calcular l'àrea de tota la superfície externa d'un objecte, només cal sumar l'àrea de totes les seves cares. I per a calcular l'àrea de cada una de les seves cares, cal:
- Calcular el seu vector normal, no normalitzat (es
suposa que els polígons externs de les cares estan orientats segons
la regla del tirabuixó i donen un vector normal cap enfora de
l'objecte; així mateix, els polígons interiors de les cares
han d'estar orientats en sentit contrari per tal que es cumpleixi que tota
aresta es recorre en sentits contraris en els polígons de les dues
cares que la comperteixen . Es pot veure fàcilment que les
components del vector normal del polígon p (orientat cap
enfora de l'objecte) són les àrees de les projeccions de p
sobre cada un dels tres plans coordenats. Per tant,
Sx =
0.5 * Suma ( ( y[i] - y[j] ) * ( z[i] + z[j] ) )
Sy = 0.5 * Suma ( ( z[i] - z[j] ) * ( x[i] + x[j] ) )
Sz = 0.5 * Suma ( ( x[i] - x[j] ) * ( y[i] + y[j] ) )
On
la suma s'ha de fer per a totes les arestes del polígon p:
L'index i varía entre 1 i N, on N és el nombre de vèrtexs
de p. Aqui estem suposant que les coordenades del vèrtex
inicial de l'aresta i-èssima són (x[i], y[i], z[i]) i que les
arestes del seu vèrtex final són (x[j], y[j], z[j]).
L'index j val i+1 excepte en el cas en que i=N, en que j=1. Es immediat
comprovar que el vector normal no normalitzat té com a components (nx,
ny, nz) = (Sx, Sy, Sz) (aquest fet es basa en dos fets geometrics: els
components del vector normal - normalitzat - son els cosinus directors, i els
valors Sx, Sy, Sz son els productes de l'àrea de la cara per cada un
dels cosinus directors).
- Calcular l'àrea de la cara a partir de la de les
seves projeccions:
- Ara, finalment podem normalitzar el vector normal (ja
que el seu mòdul és Scara). Els components normalitzats del
vector normal són evidentment:
nx = Sx / Scara
ny = Sy / Scara
nz = Sz / Scara
Càlcul de propietats volumètriques
Les coordenades del centre de gravetat - o de masses - i el volum de l'objecte es poden obtenir usant el teorema de Gauss i fent una integral sobre la superfície de l'objecte, que és el que es guarda al model BRep:
Volum:
Coordeandes del centre de gravetat:
Moment
d'inèrcia segons l'eix x-x:
I també existeixen altres fòrmules similars per a d'altres propietats volumètriques.
El càlcul de les integrals es fa numèricament, segons el mètode d'integració gaussiana. Es suposa que M es la matriu:
L'algorisme que calcula aquestes dades és el següent:
Els triangles que es van calculant es poden veure millor amb la següent figura:
que generaria els triangles:
|
k |
TRIANGLE |
|
3 |
1,2,3 |
|
4 |
1,3,4 |
|
5 |
1,4,5 |