Representació per fronteres

Algorisme de creació d'un objecte BRep

Algorisme genèric d'escombrat (sweep)

Aproximació polièdrica d'una esfera

Algorisme de creació d'un objecte BRep

    Per crear un objecte en representació de fronteres (BRep) cal simplement omplir les corresponents llistes d'entitats geomètriques (cares, polígons, arestes i vèrtexs) i assegurar-se que es cumpleixen les tres condicions que es requereixen en els poliedres dos-varietat:

• Que tota aresta tingui dues i només dues cares veines
• Que donades dues cares, o bé tenen intersecció buida, o bé la seva intersecció (en cas que siguin veines) és l'aresta que comparteixen
• Que es cumpleix l'equació d'Euler: C+V = A + R + 2*(S-H)

Nosaltres suposarem que tenim dues primitives bàsiques per omplir la informació del BRep d'un objecte:

• AfegirVertBrObj (ob, V) , que afegeix el vèrtex V a l'objecte ob. També podem dir AfegirVertexs (ob, TaulaVertexs, n), que afegeix els n vèrtexs de la taula
• AfegirCara (ob, LlistaIndexos ), que afegeix una cara formada per un cicle tancat de vèrtexs en l'ordre que apareixen a la llista. Evidentment, la llista pot ser de indexos o bé de punters. Observeu que això implica numerar els vèrtexs i saber en quin ordre els hem anat afegint.
  

La representació interna de l'objecte pot ser molt diversa, i en cada cas caldrà una implementació diferent d'aquestes primitives. L'únic que cal garantir és que podrem respondre a totes les interrogacions geomètriques i topològiques bàsiques a que ha de respondre un model BRep. Aqui teniu algunes d'aquestes possibles representacions:

1. Una llista de cares i una llista de vèrtexs. Cada cara es representa com una llista (ordenada cíclicament) de punters o indexos a vèrtexs, i cada vèrtex es representa simplement amb les seves tres coordenades
2. Una llista de vèrtexs. En aquesta representació, que s'anomena inversa, les cares són implícites. Cada vèrtex es representa amb les seves coordenades i una llista de identificadors de les seves cares veines, ordenada cíclicament.
3. Quatre llistes: de cares, de polígons, de semiarestes i de vèrtexs. Una cara és un vector normal i una llista de polígons, un poligon és una llista de semiarestes, una semiaresta són dos punters a vèrtex i un vèrtex es representa per les seves tres coordenades.
   

En cada un d'aquests casos, podeu comprovar (i és recomanable fer-ho com exercici) que podeu implementar algorismes específics per a respondre a totes i cada una de les següents consultes i operacions

• Equació d'una cara c
• Coordenades d'un vèrtex
• Vector normal cap enfora d'una cara qualsevol c
• Donada una cara, generar la llista de les seves cares veines, de les seves arestes veines o bé dels seus vèrtexs veins
• Donada una aresta, generar la llista de les seves cares veines, de les seves arestes veines o bé dels seus vèrtexs veins
• Donada un vèrtex, generar la llista de les seves cares veines, de les seves arestes veines o bé dels seus vèrtexs veins
• Afegir un vèrtex
• Afegir una cara
  

En canvi, no és possible fer-ho si només guardem una llista d'arestes i una llista de vèrtexs. Per què ??

Algorisme genèric d'escombrat (sweep)

    Es tracta de generar un objecte BRep a partir de traslladar un polígon tancat al llarg d'una poligonal donada. La següent figura il·lustra millor les dades inicials:

    L'objecte final, , es defineix com:

es calcula com una interpolació lineal entre i

    és a dir, l'objecte final recull tots aquells punts que en el desplaçament del polígon per l'espai (al llarg de la poligonal), en algun instant t, pertanyen al seu interior.

    Algorisme:

    (*): aquest bucle guarda els vèrtexs d'aquesta "volta", ja que s'estan generant tots els que formaran part de l'objecte final i encara manca construir les cares:

    (**): aquestes dos línees de codi estan afegint les dues "tapes" de l'objecte de forma que les normals quedin orientades cap a fora de l'objecte. En la figura, la cara d'adalt correspon al primer "Afegir cara" i la de sota al segon:

    (***): notar l'ordre en que es construeixen les cares laterals:

    Es pot comprovar que aquest objecte té n*m + 2 cares i que compleix la fòrmula d'Euler:

    S'ha de destacar que els nous punts de l'objecte s'obtenen mitjançant una transformació geomètrica dels punts inicials. El tipus d'escombrat que volguem fer ens determinarà el tipus de transformació que apliquem als punts:

    Translació:

    Simplement una translació de l'objecte entre dos punts (una poligonal formada per una recta). En aquest cas m=1, la transformació geomètrica és una translació i  no hi ha possibilitat d'interseccions:

    Rotació:

    L'objecte que volem obtenir s'obtindrà rotant els punts del polígon inicial al voltant d'un eix:

    En aquest cas la transformació geomètrica és una rotació donat un angle (angle ). En principi es donarà un angle inicial i tindrem que . Es pot augmentar la qualitat incrementat 'm'. Com és obvi, cal que i per tant sorgeix un cas especial: quan l'objecte és tancat. En aquesta situació no s'han d'afegir les cares inicial i final. Altres punts a destacar són:

• No hi ha possibilitat d'intersecció entre cares
• Quan s'afegeixen les cares laterals, ara la "j" passa a ser cíclica, i per tant s'ha d'anar en compte fent j-1.

    Dirigit per poligonal:

    És una barreja dels dos anteriors:

• S'ha de fer una rotació per colocar el polígon paral·lel al plà del següent punt de la poligonal
• S'ha de fer una translació per moure el polígon cap al següent punt de la polígonal

    Encara queda un grau de llibertat del polígon dins del plà per minimitzar la dorsió del poliedre.