La representació per fronteres (BRep: Boundary Representation), és tota una família de representacions que modelitza la superfície externa de l'objecte. Enmagatzemen dos tipus d'informació: geomètrica (eqüacions dels plans, posició dels vèrtexs, etc) i topològica (veïnitat entre els elements geomètrics):
Geometria:
La informació geomètrica que es guarda fa referència als plans de suport de les cares i a la posició dels vèrtexs:
Topologia:
Les relacions topològiques les podem resumir en la següent taula:
|
De \ A |
Cara |
Aresta |
Vèrtex |
Cara |
C: {C} 1:N |
C: {A}
|
C: {V}
|
Aresta |
A: {C}
|
A: {A}
|
A: {V}
|
Vèrtex |
V: {C}
|
V: {A}
|
V: {V}
|
on per exemple, en la casella Aresta-Cara, tenim A: {C}, que vol dir que a partir de una aresta (A) s'ha de poder obtenir les cares ({C}) on hi és aquesta aresta. La cardinalitat indica que a partir d'una aresta obtenim dos cares. Gráficament:
Hi ha diverses formes d'implementar el model de
fronteres, però totes han de garantir que es pot obtenir la
informació descrita adalt. És obvi que no cal implementar
explícitament totes les relacions topològiques, sino que
algunes es poden obtenir a partir d'altres. Concretament estudiarem el
model jeràrquic de cares planes.
Es parteix del fet que un objecte és un
conjunt de cares, unides entre elles per una aresta. Cada cara
està formada per un polígon extern i eventualment, un o
més polígons interns (forats). Els polígons de les
cares estan representats per la successsió ordenada de les seves
arestes (semi-arestes com s'explicarà més endavant). Les
semi-arestes estan representades mitjançant el seu vèrtex
inicial.
Els objectes (sòlids) tenen dins i fora i per tant podem
mesurar el seu volum. Són entitats 3D
Les cares són entitats 2D. Podem mesurar la seva superficie.
Poden tenir forats, que generen polígons interns. Modelen les
peces de cartulina que podem enganxar per tal de generar un model
físic de l'objecte.
Els polígons i les arestes són entitats 1D.
Només podem mesurar la seva longitut o perímetre.
Els vèrtexs són entitats 0D. No tenen mesura
L'esquema següent il·lustra aquestes relacions topològiques:
La informació geomètrica que es guarda és a nivell de cara i de vèrtex: l'equació del plà de suport i la posició a l'espai respectivament.
Les semi-arestes estan ordenades cíclicament en sentit antihorari pels polígons extern i en sentit horari pels forats:
Com la frontera és tancada, les cares que la composen són adjacents i cada aresta és compartida per dues úniques cares. La orientació d'una aresta en una cara és oposada a la seva orientació en la cara adjacent que la comparteix: es parla per això de semi-arestes per referir-se a arestes orientades.
Finalment, cada semi-aresta permet l'accés al seu vèrtex inicial segons la seva orientació.