En aquest curs considerarem a més que els nostres sòlids tenen totes les cares planes, i que són dos-varietat (l'entorn de qualsevol punt de la seva superfície es homeomorf a un disc)
Característiques dels sòlids
El fet de poder parlar de dins i fora permet definir l'operació bàsica de classificació. Donat un sòlid A, es pot parlar de la classificació de punts i rectes respecte S. En la classificació de punts donat un sòlid S i un punt P, la classificació de P respecte a S és una operació que ens retorna dins, sobre o fora en funció de si el punt P és a l'interior de S, sobre la seva superfície o bé és a l'exterior del sòlid S. De la mateixa manera, la classificació d'una recta r respecte S ens diu quins intèrvals de la recta són dins, sobre o fora del sòlid.
Hem dit també que la superfície del sòlid ha de ser orientada i tancada. Orientada vol dir que la superfície té dues bandes (la banda exterior que dona a fora de l'objecte i la banda interior que mira cap al seu interior) i que donat un punt qualsevol de la superfície Sup(S) sabem a quina banda té els punts interiors a S i a quina té els punts exteriors a S. Tancada vol dir que no és possible anar de cap punt interior a S a cap punt exterior a S sense passar per algun punt de la superfície SupS. El fet que la superfície sigui orientada i tancada, junt amb el requeriment de que no s'autointersecti, ens assegura que el sòlid queda determinat per la seva superfície. Podem "caminar" per la banda exterior de Sup(S) i sempre estarem a l'exterior de l'objecte; si caminem per la seva banda interior, ens trobarem sempre a l'interior de l'objecte. Coneixent la superfície del sòlid tenim tota la informació geomètrica del sòlid i podem per exemple classificar punts i rectes.
Com que la superfície del sòlid és el lloc
geomètric dels punts que separen l'interior de l'exterior,
també l'anomenarem frontera del sólid. A l'apartat
següent
presentarem la representació per fronteres, que ens permet
emmagatzemar de forma no ambigua tota la informació
geomètrica d'un sòlid guardant
únicament informació de les cares de la seva frontera.
Poliedres
Un poliedre es un sòlid limitat per cares planes. Com veurem al seguent apartat, els poliedres tenen cares, les cares tenen un o mes poligons, cada poligon es un cicle de tres o mes arestes i cada aresta te dos vertexs que son els seus extrems.
Per a que
un poliedre sigui tancat i dos varietat, cal que totes les arestes siguin contigues a dues i només a dues cares. Si
a més es cumpleix l'equació de Euler (veure seguent
apartat) i no hi ha intersecció entre cares de la seva
superfície (excepte en les arestes que puguin compartir), es pot
assegurar que es cumpleixen les condicions que hem indicat més
amunt i que és finit, tancat, orientable i regular. No obstant,
i per a facilitar els algorismes, demanarem a més que les
arestes exteriors de tota cara estiguin orientades cíclicament
en el sentit del vector normal cap enfora del sòlid segons
la regla del tirabuixó.
En resum: donada una superficie poliedrica (amb cares planes, poligons, arestes i vertexs), si cumpleix que cada aresta es compartida per dues i només dues cares, cumpleix a mes l'equació de Euler (veure seguent apartat) i que no hi ha intersecció entre cares, direm que aquesta superficie determina un sòlid dels que estudiem aquest curs. En cas contrari, estarem parlant d'un model de superficie pero no de sòlid.