Recursivitat

Vegeu els conceptes, les referències i els exercicis al tema Recursivitat dins del material de l’assignatura.

Tipus de problemes

Fòrmules recursives

• Definir una funció en Python a partir d’una fòrmula matemàtica recursiva: funció, eqüació, successió, sèrie…

• Només cal fer un canvi de llenguatge: de notació matemàtica a Python.

Exemples

• Funcions que calculen nombres naturals

  • Factorial

  • Nombre combinatori

  • Màxim comú divisor

• Funcions que calculen els termes d’una successió

  • Enumeració dels punts del primer quadrant

  • Fibonacci

  • Funció de Ackermann

  • Recamán, seqüència alternativa

• Funcions que generen llistes

  • Calamarsa

  • Recamán

• Funcions en què les dades són llistes

  • Corbes de Bézier

Algorismes recursius

• Definir una funció en Python a partir d’un algorisme recursiu.

• Cal saber expressar l’algorisme en Python.

Exemples

• Arrel digital

• Bisecció

• Funció es_en_llista() de Cerca dicotòmica

• Divisors d’un nombre enter

• La Corba C de Lévy

• Quadtree

• Triangle de Sierpiński

• Funció hi_es

• Funció ho_es

Seqüències

• L’estratègia més sencilla per reduir una seqüència és calcular-ne una llesca sense un dels elements.

• Els elements més fàcils de descartar són el primer i l’últim.

Exemples

• Aplica

  • Esquema aplica recursiu lineal

  • Llista de nombres quadrats

• Filtra

  • Esquema aplica recursiu lineal

• Sintetitza

  • Esquema sintetitza recursiu lineal

  • Màxim: mes_no_nuls.nombre_no_nuls() de Polinomi amb més coeficients no nuls, amb clau mes_no_nuls.nombre_no_nuls()

  • Mínim: mesCurta

• Cerca

  • Classe seqüència definida per l’usuari: Paquets

  • Índex del primer element desordenat

  • Llista ordenada creixentment

• Combinacions

  • Filtra i sintetiza: mes_no_nuls.nombre_no_nuls() de Polinomi amb més coeficients no nuls

  • Enumera, filtra i aplica: indexos

• Finestres

  • Funció diferencies de diferencies

• Cal definir l’algorisme recursiu

  • Cap i cua

Immersió

• Tècnica de disseny recursiu.

• Imprescindible quan no sabem reduir cap dels paràmetres de la funció original.

• Consisteix en definir una nova funció més general (funció immersora), que té més paràmetres.

• La funció immersora calcula el mateix resultat que la funció original quan es crida amb alguns valors dels arguments que es corresponen als nous paràmetres.

Immersió d’eficiència en seqüències

• Evita generar llesques de la llista original.

• Afegeix un paràmetre de tipus range.

• Les llesques es fan sobre el nou paràmetre en comptes de la llista.

Vegeu al Python Tutor la solució de l’esquema sintetitza basada en llesques i contrasteu-la amb la solució amb la tècnica d’immersió.

Exemples

• Immersió d’eficiència en seqüències

  • Aplica

    • Esquema aplica recursiu lineal

    • Llista de nombres quadrats

  • Filtra

    • Esquema aplica recursiu lineal

  • Sintetitza

    • Esquema sintetitza recursiu lineal

    • Màxim: mes_no_nuls() de Polinomi amb més coeficients no nuls, amb clau nombre_no_nuls()

    • Mínim: mesCurta

  • Intèrval i suma: Suma d’un tros

  • Esquema sintetitza recursiu lineal amb immersió

  • Exercicis d’examen: totvocals.

  • Solucions: totvocals.

• El resultat de la funció és un índex d’una seqüència

  • Funció index_llista() de Cerca dicotòmica

• Immersió imprescindible en seqüències sense llesques

  • Horner

  • Polinomi amb més coeficients no nuls

• Immersió en matrius

  • Decidir si una matriu és simètrica

  • Quadtree

Dades recursives

• Tipus de dades recursius.

Exemples

• Aplanar una llista

• Arbres d’intervals

• Quadtree

• Accés a una E-llista (2 punts)

Funcions modificadores

• També poden ser recursives.

• Cal immersió per les funcions modificadores sobre seqüències.

Exemples

• Funció positius_2()

• Recorregut en profunditat d’una graf

Iteradors

• Les funcions que reben o calculen iteradors finits poden ser recursives.

Tipus de recursivitat

Recursivitat multiple

• Funció recursiva lineal o simple: per resoldre el cas recursiu, només cal que es cridi un cop a ella mateixa.

• Funció recursiva múltiple: per resoldre el cas recursiu, cal cridar-la més d’un cop.

Exemples

• Aplanar una llista

• Fibonacci

• Quadtree

• Funció hi_es

Recursivitat final

• Funció recursiva lineal final: retorna directament el resultat de la crida recursiva.

Exemples

• Arrel digital

• Fibonacci

• Accés a una E-llista (2 punts)

• Funció ho_es

negatiu, divina, red_dif,

negatiu, divina, red_dif,

Recursivitat estructural

• Funcions recursives amb paràmetres o resultats que són dades recursives.

Recursivitat indirecta

• Funció recursiva directa: la funció es crida a ella mateixa.

• Funció recursiva indirecta: la funció no es crida a ella mateixa sinó que ho fa una altra funció a qui ha cridat.