Fractals

El models fractals van ser desenvolupats pensats per a representar objectes geomètricament irregulars, com ara muntanyes, el perfil d'una costa, estructures arborescents, núvols, etc., objectes molt habituals en la vida cotidiana però que seria costós de representar-los mitjançant qualsevol altre model. Podem definir un objecte fractal (o directament, una fractal) de diverses maneres:

• Un objecte fractal és tot aquell que és autosimilar; és a dir, que si prenem una part de l'objecte té una estructura semblant al total. Així, una branca d'un arbre s'assembla a tot un arbre, una part d'una muntanya s'assembla a una nova muntanya, etc.
• Un objecte fractal és aquell que compleix que la seva mesura és funció de l'unitat de mesura. Així, si mesurem la lína d'una costa a diferents escales, obtindrem diferents mesures, en funció del detall que incloguin.
• Un objecte fractal és aquell que té dimensió fractal.

La dimensió fractal D d'un objecte es pot definir com

D = log(N) / log(1/a)

on a és la unitat de mesura, i N és el nombre d'estructures autosimilars de mida a que conté l'objecte. Aquesta equació es deriva del fet que tot objecte compleix la igualtat N=(1/a)^D, és a dir, que si tenim un objecte que es composa de N parts idèntiques d'ell mateix de mida a, la seva dimensió és D. Així per exemple, un segment de línia recta la podem partir en dos segments idèntics de mida meitat (i per tant N=2, a=1/2, D = log 2 /l og 2 = 1), un quadrat el podem dividir en quatre quadrats idèntics escalats a la meitat (i per tant, N=4, a=1/2, D = log 4 / log 2 = 2), un cub el podem dividir  en vuit cubs idèntics de escalats també a la meitat (i per tant, N=8, a=1/2, D = log 8 / log 2 = 3), etc.

(Fixem-nos que aquesta relació es compleix també si els objectes els dividim en 3 parts d'escala un terç, etc.)
 
 

Prenem la corba de von Koch (també anomenada snowflake), que es genera partint d'un segment de recta, dividint-lo en tres parts iguals i substituïnt el segment central per dos nous segments girats. Aquest procediment cal repetir-lo pels nous segments ndefinidament, tal com mostra la figura de la dreta. En aquest cas, N=4, a=1/3 (cada nou segment mesura una tercera part de l'original). Per tant, tenim que la dimensió de la corba val D = log(4) / log(3) = 1.2618595...

Un definició recursiva està molt lligada doncs a la definició d'una fractal, i  un algorisme que generi estructures geomètriques de  generació de forma recursiva proporciona una forma senzilla de crear objectes fractals. De forma similar a com es generen les corbes de Koch (i d'atres de semblants, com la corba de Sierpinski), es poden generar superficies fractals. Si afegim aleatorietat a la mida o els angles que formen els segments (o pedaços de superficie), el nombre d'estructures que es generen, etc. podem obtenir objectes en forma d'arbre, fulles de plantes, muntanyes, etc. De fet, existeixen algorismes específics per a la generació de geometries fractals, com els L-Systems, basats en les regles de producció de les gramàtiques, o els IFS (Iterated Functional Systems).

També hi ha conjunts matemàtics, com el conegut conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Julia de naturalesa fractal.

Podeu trobar mes informacio i algorismes per generar fractals per exemple en aquesta pagina. Els fractals han estat relacionades amb la teoria del caos, amb els autòmats cel.lulars i amb els sistemes dinàmics productor-consumidor.

-> Vegeu també les pàgines del projecte de modelador de fractals.
 

El conjunt de  Mandelbrot	Un conjunt de Julia
Exemples de  conjunts matemàtics fractals		Muntanya i núvols generats utilitzant models fractals	Estructura fractal arborescent	Mapa fractal generat aleatòriament

Bibliografia complementària (sel.lecció)

• B. Mandelbrot, "Los objetos fractales",  Tusquets eds. 2a ed., 1988.
• M. Barnsley, "Fractals everywere", New York Academic Press, 1988.
• D.A. Charles-Edwards, "Modelling plant growth and development", New York Academic Press, 1986.
• G. W. Flake, "The Computational Beauty of Nature", MIT Press, 1998.

Apunts editats per Marc Vigo i Pere Brunet