\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
Sigui $K$ un cos commutatiu. Una \emph{successió} d'elements de $K$ és
una aplicació $\mathbb{N} \to K$. Un \emph{polinomi} amb coeficients a
$K$ és una successió $(a_n)$ amb $a_i=0$ per a tot $i$ llevat d'un
nombre finit.  Designarem per $K[x]$ el conjunt de polinomis amb
coeficients a $K$.

\clearpage
Si la resta de la divisió entera de $a(x)$ per $b(x)$ és $0$, es diu
que $a(x)$ és un \emph{múltiple} de $b(x)$, o que $b(x)$ és un
\emph{divisor} de $a(x)$.

\clearpage
Indicarem per $(b(x))$ el conjunt dels múltiples de $b(x)$. Anomenarem
\emph{ideal} de $K[x]$ tot subconjunt $I \subset K[x]$ que compleixi
(i) $a(x)+b(x) \in I$ si $a(x),b(x) \in I$, i (ii) $a(x) \cdot c(x)
\in (b(x))$ si $a(x) \in (b(x))$ i $c(x) \in K[x]$.

\clearpage
Dos polinomis són \emph{primers entre ells} quan el seu màxim comú
divisor és la unitat. Un polinomi $p(x)$ de grau diferent de zero es
diu \emph{irreductible} o \emph{primer} si els seus únics divisors són
$k$, $k \cdot p(x)$ amb $k \in K$.

\clearpage
Si $a(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ és un polinomi de $K[x]$ i $k \in K$,
anomenarem \emph{valor} de $a(x)$ a $k$ $a(k)=a_0+a_1k+\cdots+a_nk^n
\in K$.

\clearpage
Sigui $m(x)$ un polinomi de $K[x]$. Direm que dos polinomis $a(x)$ i
$b(x)$ són \emph{congruents} mòdul $m(x)$ si $a(x)-b(x) \in
(m(x))$. Designem per $[a(x)]$ la classe d'equivalència de $a(x)$, és
a dir, el conjunt de polinomis congruents amb $a(x)$ mòdul $m(x)$. El
conjunt d'aquestes classes d'equivalència el denotarem per
$K[x]/(m(x))$ i en direm \emph{quocient} de $K[x]$ per $(m(x))$.

\clearpage
Si $p(x) \in K[x]$ és irreductible, $K[x]/(p(x))$ és un cos que es diu
una \emph{extensió algebraica} de $K$.
\end{document}